阿贝尔,如何看待鲁菲尼、阿贝尔和伽罗瓦三人的数学的成就?

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如何看待鲁菲尼、阿贝尔和伽罗瓦三人的数学的成就?

  鲁菲尼的证明非常详细,有好几百页,在此基础上柯西发展了置换群的思想,最早明确提出置换群概念,阿贝尔利用置换群概念证明了一元五次方程没有一般解,其实阿贝尔的证明和鲁菲尼的证明基本相同,不过阿贝尔把其中的关键一步给证明了,利用反证法和柯西的置换群思想证明了阿贝尔鲁菲尼定理,也就大体上完成了证明,为后来伽罗瓦群论奠定基础。其实这里面如果柯西当时再加把力的话其实是可以自己证明阿贝尔鲁菲尼定理的,鲁菲尼的论文柯西手上就有,而阿贝尔的置换群工具也是柯西开发的,不知道当时什么情况。我没看过鲁菲尼的论文,不知道他到底证明到了何种程度,我认为鲁菲尼当时是有可能自己比较完整证明出,那个证明缺陷可能不是鲁菲尼没有能力证明,而是他忽略了。话说阿贝尔如果活下去的话,群论可能就诞生在阿贝尔手上了。其实也由于当时他们缺乏交流,否则鲁菲尼拉格朗日柯西三个人一起讨论或许就可以提前解决方程问题,本身探讨高次方程解的开创性工作就来源于拉格朗日,后来的鲁菲尼柯西阿贝尔伽罗瓦都是在改进拉格朗日的工作。或许是拉格朗日当时年纪太大的原因吧,否则他应该可以自己完成高次方程问题的研究的,当时他已遇见到高次方程无一般解,并且给出了最初的方法,不过因计算量太大所以拉格朗日放弃了,毕竟年事已高,否则就算不用抽象的方法,硬算或许也可以算出鲁菲尼阿贝尔等人的结论。我手上有阿贝尔的原著论文,非常短,应该就是主要讨论阿贝尔鲁菲尼定理的那部分

  这里说一下,有文章说阿贝尔是没看过鲁菲尼的文章的,这点我很奇怪,鲁菲尼的文章有五百多页,阿贝尔的证明才六页,而且还补充了鲁菲尼漏掉的东西,他是如何把五百多页浓缩到六页的呢,好像不容易吧,我想那六页应该主要是证明阿贝尔鲁菲尼定理的,至于前面的工作阿贝尔或许已经知道鲁菲尼已经做了,所以他仅证明了这一步?可能阿贝尔刚开始证明的时候没有看鲁菲尼的东西,当时鲁菲尼的文章在欧洲应该是有些名气的,何况他前前后后发了六次之多,大家没理由都不知道鲁菲尼的东西,所以在这个问题上,鲁菲尼的贡献是非常大的。如果需要我可以把阿贝尔的论文发出来,我看不懂外国字,有些公式大致知道什么意思

21岁就破解困扰人们300年难题的天才——阿贝尔(上)

1802年8月5日,尼尔斯·亨利克·阿贝尔(NielsHenrikAbel)出生在挪威的一个小村庄,当时整个挪威都是处于一种吃不饱穿不暖的贫困状态,阿贝尔家也不例外,父母更是同时要抚养7个孩子,生活尤其艰辛。

  直到1815年,阿贝尔才进入到一所天主教学校读书,也就是在这里,他遇到了他人生的伯乐——霍尔姆伯(B.M.Holmboe)。

  霍尔姆伯是阿贝尔的数学老师,他最初发现了阿贝尔的数学天赋,并且给阿贝尔制定了特殊的指导方法:跳过那些(对阿贝尔来说)不必要的课程,直接从牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作开始学习。

  到16岁的时候,阿贝尔已经读完了高斯的经典著作《算术研究》,还养成了给大师纠错(细微的漏洞)的习惯。。。

  就这样,阿贝尔迅速了解到大师们不同凡响的极具创造性的方法,并且进入到当时最前沿的数学研究领域。

  后来,阿贝尔感慨道:要想在数学上取得进展,就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作。

1820年,阿贝尔的父亲去世,家庭的重担一下子就落到了年仅18岁的阿贝尔身上,他只有不停地去授课赚钱养家,同时也要兼顾自己的数学研究事业。

  而霍尔姆伯早就预感阿贝尔必定会成为享誉欧洲的数学家,他觉得阿贝尔应该去到更广阔的地方学习,他无法眼睁睁地看着这位天才被贫困耽误。于是,决定资助阿贝尔继续学业。

1821年,阿贝尔靠着奖学金以及霍尔姆伯的资助,来到了奥斯陆大学学习,一年后,就获得了大学预颁学位。

1823年,阿贝尔发表了第一篇论文——用积分方程解古典的等时线问题,这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积分方程的人。

  阿贝尔的教授以及同学们都强烈意识到,阿贝尔的数学思想已经远远超越了挪威国界,他需要去跟国外的数学大师们进行思想交流,才能够充分发挥他的才华。于是,他们“联名上书”,说服学校当局向政府申请一笔公费,用于阿贝尔在欧洲大陆进行一次数学旅行。

  在等待政府回复的时候,阿贝尔开始研究一般五次方程问题。

  方程求解作为代数领域里最早的研究方向甚至可以追溯到公元前两千年的古巴比伦时代。

  一元四次方程的解决方法也在十五世纪由意大利数学家费拉里给出。

  而此后差不多三百年的时间里,几乎每一个对代数有点见地的人都曾经尝试过这个看起来并不算很困难的问题,但是没有人真正成功过,意大利数学家鲁菲尼是最接近成功的一个人,但是他的证明有明显的漏洞。

1824年,阿贝尔发表了论文《一元五次方程没有代数一般解》,证明了求根公式的不存在,并且给出了一个一般一元五次方程可以通过加减乘除和开平反运算得到解的充分条件,解决了困扰人们差不多三百年的难题。

  不过,在挪威这个小地方,阿贝尔的研究成果并没有得到重视,因此,阿贝尔为了不让自己的研究成果(自己的才华)就这样被埋没,决定自费印刷出论文寄给欧洲的大数学家们,尤其是想要得到高斯的认可,并且希望借此机会可以见到高斯。

  由于经费有限,阿贝尔将他的论文高度浓缩,最终只有6页纸。然而,就是因为只有6页纸,高斯看到之后,直接说:“太疯狂了,居然这么几页纸就解决了数学界的世界难题?!”便将阿贝尔寄给他的论文扔到一边。

  后来,高斯去世后,人们在高斯的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。。。

1825年8月,阿贝尔获得公费,开始其历时两年的欧洲大陆之行。

  游学的第一站,阿贝尔没有选择当时数学最强的法国,而是选择了他所崇拜的高斯的所在地——德国哥廷根,准备等待高斯的接见。不过,当得知高斯并没有承认他的那篇五次方论文后,阿贝尔长叹一声气之后选择留在柏林。

  在柏林,阿贝尔遇到了他人生中的第二个伯乐——克雷勒(Crelle)。

  克雷勒是一个土木工程师,同时也是一个数学业余爱好者,发表过一些数学论文。而阿贝尔就曾研读过克雷勒的所有数学论文,因此,与克雷勒一见面,阿贝尔就说:“我看过你的所有数学论文。不过,这些论文中存在一些错误。”并献上他自己写的五次方程论文,“还有,这是我写的论文。”

初次见面就说出如此让人尴尬的话。。。

  好在,克雷勒是个十分谦虚的人,也意识到眼前这位年轻人具有非凡的数学天赋,很快便与阿贝尔细细交谈起来,并且翻看了阿贝尔的论文小册子,坦率地说:“我看不懂。。。”

  两人很快成为好朋友,当时克雷勒正在筹备创办一个专门刊登创造性数学研究论文的期刊《纯粹和应用数学杂志》,只是一直还没来得及真正实施计划,与阿贝尔认识之后,克雷勒当即决定将阿贝尔的五次方论文载入第一期,并且持续刊登阿贝尔的一些后续研究成果。(关于方程理论、泛函方程及理论力学等的论文)

  也就是在这一时期,阿贝尔开始了他一生中最重要的工作——关于椭圆函数理论的研究。

  椭圆积分方面的权威、法国数学家勒让德(A.M.Legendre,1752-1833)研究了40年之久,尽管根据前辈工作中引出了很多新的推断,但是并没有得出任何关于椭圆函数的基本思想,甚至将这一研究引进了“山重水复疑无路”的境地。

  既然都到了“山重水复疑无路”的地步,阿贝尔决定换一种方式来研究,瞬间令勒让德的研究逊色。

  阿贝尔得出了椭圆函数的基本性质,找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K,证明了椭圆函数的周期性;

  建立了椭圆函数的加法定理,借助于这一定理,又将椭圆函数拓广到整个复域,并因而发现这些函数是双周期的,这是别开生面的新发现;

  他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分,并获得了这方面的一个关键性定理,即著名的阿贝尔基本定理,它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。

  而阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数,则在不久后由黎曼首先提出并加以深入研究。

1826年夏天,阿贝尔离开柏林,来到了荟聚了柯西、拉格朗日、勒让得、拉普拉斯、傅立叶、泊松等大数学家的巴黎,而且他也见到了所有出名的数学家。

  于是,阿贝尔将这几年关于椭圆函数的所有研究成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》,提交给法国科学院,当时任科学院秘书的傅里叶看了一下论文的引言,就委托勒让德和柯西审查了,而柯西就是主要审查者。

标签:阿贝尔
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